Diketahui \(a, a+b, a+5b\) merupakan 3 suku pertama suatu barisan geometri. Jika \( a, a+b, x, y, \) dan \(z\) merupakan 5 suku pertama barisan aritmetika dan \( x+y+z=-15 \), maka suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah…
- -21/2
- -14
- -29/2
- -15
- -31/2
(Soal SBMPTN 2014)
Pembahasan:
Diketahui \(a, a+b, a+5b\) membentuk barisan aritmetika. Dari barisan kita tentukan nilai beda \(b\), yaitu:
\begin{aligned} U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (a+b)^2 &= a(a+5b) \\[8pt] a^2+2ab+b^2 &= a^2+5ab \\[8pt] b^2 &= 3ab \\[8pt] b &= 3a \end{aligned}
Selanjutnya, diketahui \( a, a+b, x, y, \) dan \(z\) merupakan 5 suku pertama barisan aritmetika di mana \( x+y+x=-15 \), sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_5 &= \frac{5}{2}(2a+4b) \\[8pt] a+(a+b)+x+y+z &= 5a+10b \\[8pt] 2a+b+(x+y+z) &= 5a+10b \\[8pt] 2a+3a-15 &= 5a+10(3a) \\[8pt] 5a-15 &= 5a+30a \\[8pt] 30a &= -15 \\[8pt] a &= -\frac{1}{2} \\[8pt] a=-\frac{1}{2} &\Leftrightarrow b = 3a = -\frac{3}{2} \\[8pt] U_{10} = a+9b &\Leftrightarrow U_{10} = -\frac{1}{2}+9\left(-\frac{3}{2} \right) \\[8pt] &\Leftrightarrow U_{10} = -\frac{1}{2}-\frac{27}{2} = -\frac{28}{2}=-14 \end{aligned}
Jawaban A.